LÓGICA MATEMÁTICA

Unidad 1

Definicion

Estudia la forma del razonamiento disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es  o no válido. 

En las matemáticas,se usa la lógica para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. 

PROPOSICIONES

Una proposición es una unidad semántica que tiene un solo valor de verdad es decir o sólo es verdadera o sólo es falsa, en lógica si la proposición es verdadera se dice que su valor de verdad es 1 y si es falsa su valor de verdad es 0.

Las proposiciones forman parte de la forma más simple o elemental de la lógica, y se puede enfocar en la lógica matemáticas. Esta lógica, no profundiza en los conceptos de las proposiciones, solo se guía en lo ciertas o falsas que sean. Se representan con una letra minúscula.

Las proposiciones se dividen en 2 tipos :

• Proposiciones simples: También denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.
  Ejemplos:

         a: El cielo es azul

         b: Pablo Neruda es poeta

         c: 8 +9= 14

•         Proposiciones compuestas: También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.
  Ejemplos:

         p: Si tu ayudas entonces yo no diré nada

         q: Hice la tarea pero estaba mal

         r: Mi mamá se fué al banco o a la casa 

OPERADORES LÓGICOS

Son aquellos que sirven para unir 2 o más proposiciones simples y formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares).

Hay varios operadores lógicos:

• NEGACIÓN ¬

Este operador cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera,  ¬a es falsa; si a es una proposición falsa, ¬a es verdadera.

La negación se presenta con los términos gramaticales:

 no

 no es verdad que

 no es cierto que

Ejemplo:

a: Quito es la capital del Ecuador (1)

¬a: No es verdad que Quito es la capital del Ecuador (0)

a	¬a
1	0
0	1

CONJUNCION ${\displaystyle \land }$

Este operador une a 2 o mas proposiciones y es verdadera si y solo si todas aquellas proposiciones tienen como valor de verdad 1 es decir si todas son verdaderas en los demás casos sera falsa
La conjunción se presenta con los términos gramaticales:
pero
y
,
Ejemplo:
a: Mi hermana es mayor a mi (1)
b: Mi hermano es menor a mi (1)
a ${\displaystyle \land }$ b: Mi hermana es mayor a mi y mi hermano es menor a mi (1)

p: El presidente actual de Ecuador es Lenin Moreno (1)
q: El vicepresidente actual de Ecuador es Rafael Correa(0)
p${\displaystyle \land }$ q: El presidente actual de Ecuador es Lenin Moreno y el vicepresidente es Rafael Correa (0)

      

p	q	p ^ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

  

• DISYUNCION

La disyunción es un conector que une a 2 o mas proposiciones y es falsa únicamente cuando todas estas proposiciones son falsas en caso contrario son la disyunción entre estas proposiciones es verdadera
La disyunción se presenta con los términos gramaticales:
o
u
Ejemplos:
m: La casa de mis padres es amarilla (0)
n: El techado de la casa de mis padres es naranja(0)
m n: La casa de mis padres es amarilla o el techado es naranja (0)

g: Juan come lechuga (1)
h: Pedro come carne roja (0)
g n: Juan come lechuga o Pedro come carne roja (1)

p	q	p v q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

• CONDICIONAL →

Es el conector que une a 2 proposiciones y es falsa únicamente si la primera es verdadera y la otra es falsa , caso contrario siempre es verdadera. En la condicional debe tomarse como primera proposición a la causa y como segunda proposición al efecto.

La condicional se presenta con los términos gramaticales:

Si a , entonces b

Si a , b

Ejemplos:

k: La Tierra es redonda (1)

j:  Marte es plano (0)

k  → j: Si la Tierra es redonda ,entonces Marte es plano (0)

h: 1+1=3 (0)

t: 2+3=6 (0)

h →t: Si 1+1=3 ,entonces 2+3=6 (1)

p	q	p→  q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

• BICONDICIONAL ↔

Es un operador que une a 2 proposiciones, se dice que la bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad

La bicondicional se presenta con los términos gramaticales:

a si y solo si b

Ejemplo:
d: Quito es la mitad del mundo (1)
s: Quito es la capital de Ecuador (1)
d ↔ s: Quito es la mitad del mundo si y solo si es la capital de Ecuador (1)

p	q	p↔q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

En muchos casos para saber si una forma proposicional es verdadera o falsa se deben de usar tablas de verdad

Tabla de verdad

Las tablas de verdad son representaciones graficas , en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta

a

1

0

b	c
1	1
1	0
0	1
0	0

d	e	f
1	1	1
1	1	0
1	0	1
1	0	0
0	1	1
0	1	0
0	0	1
0	0	0

   El numero de filas en la tablas depende de el número de proposiciones que tenga la forma proposicional ; para n proposiciones hay 2 elevada a la n posibilidades

EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO

Formalice las proposiciones siguientes utilizando los símbolos correspondientes

1. Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original

p: dos pulsaciones se atraviesan

q: continúan conservando la forma original

R: p  → q

2. Patinaremos si y solo si el hielo no esta demasiado delgado

a: patinaremos

b: el hielo esta demasiado delgado

R: p ↔¬q

Demostrar si las siguientes forma proposicionales son verdaderas o falsas

• {p  ( q V r )}

p	q	r	q V r	p ^ (q V r)
1	1	1	1	1
1	1	0	1	1
1	0	1	1	1
1	0	0	0	0
0	1	1	1	0
0	1	0	1	0
0	0	1	1	0
0	0	0	0	0

 R: La forma proposicional es falsa porque para que sea verdadera la columna solucion debe tener solamente el numero 1

•  (p →q) → [ (¬ p) v q]

p	q	¬p	p →q	(¬ p) v q	(p →q) → [ (¬ p) v q]
1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	0	1
0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1

R: Es verdadera por que la columna solución esta llena con el numero 1