CONJUNTOS

Unidad  2

Definición 

En matemáticas un conjunto, es una colección de elementos que pueden ser: personas, números, colores, letras, figuras etc. El requisito que deben tener estos elementos para formar un conjunto es que deben de tener una característica en común bien definida.

Para designar un conjunto usamos letras mayúsculas. Todos los conjuntos se escriben entre llaves {…}.

Ejemplos de conjuntos:

M: {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}.

H: {{1}, {2}, {3}}.

Ejemplos de agrupaciones que no son conjuntos:

A: {1, 56, a, rojo}.

∞: {a, b, c, d}.

Existen 3 maneras de representar a un conjunto

1. Por comprensión: Es cuando escribimos las características de lo elementos de un conjunto . Ejemplo:                                                                                              S: { x/x son las vocales}
2. Por extension: Es cuando se enlistan los elementos del conjunto . Ejemplo:      S: {a, e, i, o, u}
3. En diagrama de Venn: Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. Ejemplo:

K

Tipos de conjuntos

a) Conjunto vacío.

      El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Ejemplo:

E: {  }

b)    Conjunto unitario.

Un conjunto unitario es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo:

                                                                                        R: { 0 }

c)     Conjunto finito.

Es el conjunto cuyo número de elementos es limitado, es decir se puede contar. Ejemplo:

O: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

d)    Conjunto infinito.

Es el conjunto cuyo número de elementos es ilimitado, es decir no se puede contar. Ejemplo:

W: {1, 3, 5, 7, 9…}

e)        Conjunto referencial.

Un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado, no sólo objetos simples como por ejemplo números, sino también conjuntos de números, conjuntos de conjuntos de números, etc. Ejemplo:

A = {aves} B = {peces} C = {anfibios} D = {tigres}

U = {animales} Este sería el conjunto universal.

f)  Conjunto potencia

El conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Su simbología es P(el conjunto dado). Ejemplo:

C: {3, 6, 9}

P(C): {𝜙, {3}, {6}, {9}, {3,6}, {6,9}, {3,9}, {3, 6, 9}}

Cardinalidad de un conjunto

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene un conjunto, se lo denota por N( nombre del conjunto ). Ejemplo:

P: { 2, 4, 6, 8, 10}            N(P): 5

Cuantificadores

          Cuantificador Existencial

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en un conjunto {\displaystyle ~A}(no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Su símbolo es Ǝ. Ejemplo:

Ǝx, 9+x :-5

Se lee: existe al menos un número x para que cual  9+x :-5

Cuantificador Universal

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Su símbolo es ⩝. Ejemplo:

Todos los humanos respiran(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado

Operaciones entre conjuntos

1- Unión de conjuntos:

La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.

2- Intersección de conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B.

3- Diferencia de conjuntos:

La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B. A su vez la diferencia entre B y A que se escribe  B-A se define como los elementos de B que no pertenecen a A.

4- Conjunto complementario:

Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe A^c, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

Relaciones entre conjuntos

Relación de pertenencia

                             

La relación de pertenencia se usa para relacionar conjuntos con elementos , para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto.
Ejemplos:
Para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A.
Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A, ...

Relación de contenencia
La relación de contenencia se usa para relación conjuntos con subconjuntos, para indicar si un subconjunto pertenece o no a un conjunto.
                                 

Ejemplos:
Considere los siguientes conjuntos:

M = { 1, 3, 5, 7 }

N = { 2, 4, 6, 8 }

Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }                                                                                                                                                                             

Observe que todos los elementos del conjunto M se encuentran también en el conjunto Q; decimos entonces que M está contenido en Q y lo denotamos así: 

M ⊂ Q. En este caso también se dice que M es subconjunto de Q. Observe que N también es un subconjunto de Q entonces N ⊂ Q.

Relación y Función

Producto Cartesiano
En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto. Ejemplo:

y

${\displaystyle B=\{a,b\}}$

su producto cartesiano es:

${\displaystyle {\begin{array}{r|cccc}b&(1,b)&(2,b)&(3,b)&(4,b)\\a&(1,a)&(2,a)&(3,a)&(4,a)\\\hline A\times B&1&2&3&4\\\end{array}}}$

que se representa:

${\displaystyle A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)\}}$

Regla de correspondencia

Para que exista una regla de correspondencia deben de intervenir 2 conjuntos ,el primero se llama conjunto de partida y el segundo se llama conjunto de legada. Pueden presentarse varios tipos de correspondencias por ejemplo:

  A « es múltiplo de » B

  B « trabaja en » A

  A « es de nacionalidad» B

  B « a+b=12»B

A es la tercera parte de B

Dominio : El dominio es el subconjunto del conjunto de partida que toma parte en la relación Ejemplo: en la caso de A es la tercera parte de B, todo el conjunto A es el dominio porque todo esta participando en la relación

Rango: El rango es el subconjunto del conjunto de llegada que toma parte en la relación Ejemplo: en la caso de A es la tercera parte de B, todo el conjunto B es el rango porque esta participando en la relación